mi hijo tiene 3 años 8 meses lo diagnosticaron con bronquitis asmatica y lleva 8 meses con tratamiento.

Es importante valorar el caso, porque es probable que se encuentre asociado un proceso alérgico de vías respiratorias altas y deba ser valorado por un otorrinolaringologo

Asma bronquial es el nombre correcto bronquitis asmatica no existe este termino.
Su hijo esta en el paso 2 y 3 del tratamiento del asma, con buena respuesta.
La tos y carraspeo son por rinosinusitis y conviene sea tratado pues de descontrolara si no recibe tratamiento
Como menciona el Dr. Partida, se deben hacer pruebas de alergia cutanea e identificar los alergenos causales y dar una vacunacion acorde a lo que su paciente presenta.
Alergologo pediatra es el encargado del Asma alergica.

Si es muy probable que también tenga rinitis alérgica y también debe darse tratamiento por tiempo prolongado vale la pena un alerologo pediatra

La causa del asma en niños se explica el 80% de las veces por una alergia. La vacuna bacteriana tiene otro propósito y tu niño debe valorarse por un alergólogo pediatra para identificar aquellos alérgenos asociados a los síntomas de tu hijo y para evaluar si es buen candidato para recibir un tratamiento dirigido que conocemos como Inmunoterapia Alérgeno Específica (ITAE).

Desde el 2008 la OMS (Organización Mundial de la Salud) reconoce a este tratamiento (ITAE) como el único capaz de modificar el curso natural de la enfermedad.

Saludos.

Hasta en un 75% de los pacientes con asma se pueden asociar con rinitis alérgica. Probablemente también sea necesario buscar datos clínicos de rinitis alérgica ya que se puede asociar con sensación de cosquilleo o resequedad de garganta. Existen pruebas de función respiratorio que podrían diferenciar a su hijo de un problema de asma o de un síndrome rinosinobronquial, en el cual se pueden presentar datos de rinitis alérgica más broncoespasmo sin ser necesariamente asmático.
Para un manejo integral, recomiendo valoración también por neumología pediátrica.